摘要：{\displaystyle d(x,y)=|x-y|} 赋予 F {\displaystyle F} 度量空间结构。 如果將定义中的三角不等式换作以下较强的形式（有时又叫做强三角不等式） ∀ a , b ∈ F | a + b | ≤ m a x { | a | , | b | } {\displaystyle。...{\displaystyle d(x,y)=|x-y|} 赋予 F {\displaystyle F} 度量空间结构。 如果將定义中的三角不等式换作以下较强的形式（有时又叫做强三角不等式） ∀ a , b ∈ F | a + b | ≤ m a x { | a | , | b | } {\displaystyle。
算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设 x 1 , x 2 , 。 , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 为 n {\displaystyle n} 个正实数，它们的算术平均数是。
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suan shu - ji he ping jun zhi bu deng shi ， jian cheng suan ji bu deng shi ， shi yi ge chang jian er ji ben de bu deng shi ， biao xian suan shu ping jun shu he ji he ping jun shu zhi jian heng ding de bu deng guan xi 。 she x 1 , x 2 , 。 , x n { \ d i s p l a y s t y l e x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ l d o t s , x _ { n } } wei n { \ d i s p l a y s t y l e n } ge zheng shi shu ， ta men de suan shu ping jun shu shi 。
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{\displaystyle 0\leq f(x)
克劳修斯定理（英语：Clausius theorem）也称为克劳修斯不等式（英语：Clausius Inequality），全称克劳修斯积分不等式。是德国科学家鲁道夫·克劳修斯在1855年提出的热力学不等式，描述在热力学循环中，系统热的变化及温度之间的关係： ∮ δ Q T ≤ 0 , {\displaystyle。
切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality），是概率论中的一个不等式，显示了隨机变量的「几乎所有」值都会「接近」平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（Bienaymé-Chebyshev。
对数求和不等式（Log sum inequality）是一个不等式 ，可用于证明信息论中的多个定理。 对任何非负实数 a 1 , 。 , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} 和正数 b 1 , 。 , b n {\displaystyle b_{1},\ldots。
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., an 的 k 阶基本对称多项式，即 a1, a2, , an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数，二项式系数 ( n k ) {\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}} 。 麦克劳林不等式是如下不等式链： S 1 ≥ S 2。
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在数学分析中有一类关于索博列夫空间中的范数的索博列夫不等式（英语：Sobolev inequality; 俄语：Соболев неравенство）。 这些不等式可以用于证明索博列夫嵌入定理，给出某些索博列夫空间的包含关系。而Rellich-Kondrachov定理（英语：Rellich–Kondrachov。
在数学优化中，切割平面法是通过线性不等式对可行集或目标函数进行迭代性优化（即切割）的优化方法的涵盖性术语。该过程通常用来发现混合整数线性规划（MILP）问题的整数解，也可以用来解决常规的、未必可微的凸优化问题。利用切割平面法求解 MILP 由 Ralph E. Gomory 引入。 MILP。
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在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。 埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外。
基本者当属极大值原理，由此可推出大多数其它不等式。另一个重要结果是刘维尔定理，它断言定义在整个 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的有界调和函数必为常数函数。除此之外，还有柯西估计、Harnack 不等式与施瓦茨引理等几个重要的不等式。 这些不等式。
微积分基本定理（英语：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在於它保证了连续函数的反导函数的存在性。。
在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。 格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值。
在数学中，有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。 令Hn表示n×n埃尔米特矩阵空间， Hn+表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵，Hn++表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要迹类算子或埃尔米特算子，简单起见，此处我们只讨论矩阵。。
琴生不等式（英语：Jensen's inequality，台湾称作简森不等式），或称延森不等式，以丹麦数学家约翰·延森命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关係，在此不等式最简单形式中，阐明了对一平均做凸函数转换，会小於等於先做凸函数转换再平均。若將简森不等式应用在二点上，就回到了凸函数的基本。
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在理论物理学裏，贝尔定理（Bell's theorem）表明 贝尔定理是一种不可行定理，又知名为贝尔不等式。这定理在物理学和科学哲学裏异常重要，因为这定理意味著量子物理必需违背定域性原理或反事实確定性（英语：counterfactual definiteness）。发表於1964年，贝尔定理是因北爱尔兰物理学家约翰·贝尔而命名。。
在数学领域，牛顿不等式以艾萨克·牛顿命名。假设 a1, a2, , an 是实数，令 σ k {\displaystyle \sigma _{k}} 表示 a1, a2, , an 上的 k 阶基本对称多项式。那么基本对称均值 S k = σ k ( n k ) {\displaystyle。
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示Lp空间的相互关係的基本不等式： 设 S {\displaystyle S} 为测度空间， 1 ≤ p , q ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty } ，及 1 p + 1 q。
布尔不等式（英语：Boole's inequality），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。 对于事件A1、A2、A3、： P ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i P ( A i ) {\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq。
在图论中，惠特尼不等式 (英：Whitney's connectivity inequalities or Whitney's inequalities)，又称为惠特尼连通性不等式，是关于图的连通度的重要不等式，几乎出现于任何一本图论教科书中。该不等式明确地指出了图的点连通度与边连通度以及与图最小度。
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