摘要：
偏微分方程（英语：partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关係。符合这个关係的函数是方程的解。 偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。 方程式中常以u为未知数及偏微分，如下：。...
偏微分方程（英语：partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关係。符合这个关係的函数是方程的解。 偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。 方程式中常以u为未知数及偏微分，如下：。
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}(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w} 称为下线性分式转换（lower linear fractional transformation）， F ℓ {\displaystyle F_{\ell }} 定义为（其下標表示「较低的」） F ℓ ( P , K ) = P 11 +。
} ( \ m a t h b f { P } , \ m a t h b f { K } ) \ , w } cheng wei xia xian xing fen shi zhuan huan （ l o w e r l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n ） ， F ℓ { \ d i s p l a y s t y l e F _ { \ e l l } } ding yi wei （ qi xia 標 biao shi 「 jiao di de 」 ） F ℓ ( P , K ) = P 1 1 + 。
) − f ( a ) h . {\displaystyle f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}.} 近似解的误差定义为近似解及解析解之间的差值。有限差分法的两个误差来源分別是舍入误差及截尾误差（英语：truncation error）（或称为离散化误差），前者是因。
克莱罗方程是形式如 u = t u ′ + f ( u ′ ) {\displaystyle u=tu'+f(u')} 的常微分方程。 两边对 t {\displaystyle t} 取导数： u ′ = u ′ + t u ″ + f ′ ( u ′ ) u ″ {\displaystyle u'=u'+tu''+f'(u')u''}。
1880年至1887年间，他提出了算子微积分（英语：Operational calculus），并用字母“p”表示微分算子。但他当时给出的微分算子定义模糊，并不容易理解，适用范围有多大也不清楚。这是一套將微分方程转换为普通代数方程的方法，但是当时的数学家们批评这个方法不够严谨。但黑维塞并不理会别人的批评。。
(#｀′)凸
在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 曲率有多种等价的定义。
中关于虚数单位i的单扩张 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F。
{\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)} 。 如f定义为在Rn上的方程，约束为gk(x)= ck（或将约束左移得到gk(x) − ck = 0）。定义拉格朗日Λ为 Λ ( x , λ ) = f + ∑ k λ k ( g k − c k ) {\displaystyle。
≥０≤
b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：Regular singular point）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。 当 c {\displaystyle c} 为正整数时，对于|z|
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。 拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义。
2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0} 。 隱函数（implicit function）是由隱式方程所隱含定义的函数，比如 y = 1 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} 是由 x 2 + y 2 − 1。
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柯西-尤拉方程是形式如 x 2 y ″ + b x y ′ + c y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0} （其中 b , c {\displaystyle b,c} 是常数）的二阶变係数常微分方程。 观察可知 y = x r {\displaystyle y=x^{r}}。
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x。
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部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12。
分式方程是指方程分母中至少含有一个未知数的方程。 整式方程与分式方程统称“有理方程”。 根式方程也称作“无理方程”，是指方程被开方式中至少含有一个未知数，而根指数不含未知数的方程。 有理方程与无理方程统称“代数方程”。 超越方程是指包含超越函数的方程，也叫做“非代数方程”。 函数方程是指其中包含未知函数的方程。 微分方程是指其中包含未知函数导数（或微分）的函数方程。。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。 如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 Y ( z ) z。
=f} ， 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或 Δ {\displaystyle \Delta } （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域。
{\displaystyle f} ，即 F ′ = f {\displaystyle F'=f} 。 不定积分在原先的定义上並没有设定区间，会与导函数间相差一常数 C {\displaystyle C} 。若导函数的定义是有区间的，请参照定积分。 不定积分和定积分间的关系係由微积分基本定理联系起来，函数的定积分可以透过先求得不定积分再带入数字来运算。。
xx'+yy'=0.\,} 在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理： 给定以下形式的微分方程： I ( x , y ) d x + J ( x , y。
约阿希姆斯塔尔中学（Joachimsthal Gymnasium）的邀请。但是，雅可比决定继续追求大学教职。在1825年，雅可比通过《有理函数的部分分式分解》这样一篇博士论文获得了博士学位。与此同时，雅可比皈依了基督教，并获得了特许任教许可，并在1825/1826学年教授曲线与曲面理论。。
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