摘要：
d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包 A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} 是A与A中元素的所有数列极限（它的极限点）的集合的并集， A ¯ = A ∪ { lim n a n : ∀ n ≥ 0 , a n ∈ A } {\displaystyle。...
d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包 A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} 是A与A中元素的所有数列极限（它的极限点）的集合的并集， A ¯ = A ∪ { lim n a n : ∀ n ≥ 0 , a n ∈ A } {\displaystyle。
n,n,\dots ]} 黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第 n {\displaystyle n} 贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。 数列 { M k } {\displaystyle \{M_{k}\}}。
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n , n , \ d o t s ] } huang jin shu （ di 1 gui jin shu shu ） shi fei bo na qi shu lie xiang lin liang xiang de bi de ji xian ， bai yin shu （ di 2 gui jin shu shu ） shi pei er shu lie xiang lin liang xiang de bi de ji xian ； yi ban di ， ye cun zai yi di n { \ d i s p l a y s t y l e n } gui jin shu shu wei xiang lin liang xiang de bi de ji xian de shu lie 。 shu lie { M k } { \ d i s p l a y s t y l e \ { M _ { k } \ } } 。
(^人^)
{\displaystyle f} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处有极限 l {\displaystyle l} 的充分必要条件是: 对于任何一个收敛于 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的数列 { x n ≠ x 0 : n = 1 , 2 , 3 , 。 } {\displaystyle。
在数学领域，特别是对于动力系统的研究中，极限集合（或称极限集、极限点集）是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点的集合。极限集合有两种，分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合。在动力系统研究中，极限集合可以用来理解动力系统的长期性态。动力系统中的极限集合的种类包括有奇点，周期轨线，极限环和吸引子。。
数列”。 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。 由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。。
极限的数学概念来阐释。作为使用传统数学的结果，指派给记数表示式“0.999。”的值定义为一个实数，该实数为收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，。）的极限。「0.999。」是一个数列的极限，从而，对於0.999。= 1这个等式就很直观了。。
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的正负没有限制，所以原则上把对数列 b n {\displaystyle b_{n}} 的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。 与罗必达法则的迭代用法类似，在尝试应用斯托尔兹－切萨罗定理考察数列的极限时，如果发现两个数列差分的商仍然是不定型，可以尝试再使用1次该定理，考察其2阶差分之商的极限。 应当注意，当。
在微积分学中，上极限和下极限（英语：Limit superior and limit inferior）是指数列极限的上极限和下极限，可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说，数列 { ( − 1 ) n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty。
\sum u_{n}} 是正项级数，则部分和 S n {\displaystyle S_{n}} 是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列Sn有界， ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛，且 lim n → ∞ S n。
\mathbb {Q} _{p}} 中，数列和无穷级数的收敛条件较实数中更宽松。一个数列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 是柯西数列当且仅当xn+1 - xn趋于0。因此数列有极限等价于说其相邻项之差趋于0:88。无穷级数。
在数学中，相伴数列定理涉及实数列，它指出相伴数列收敛于同一极限。 如果两个实数列 ( a n {\textstyle a_{n}} ) 和 ( b n {\textstyle b_{n}} ) 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是相伴数列。 先假设数列 ( a。
极限可以指： 极限 (数学) 函数极限 极限 (数列) 极限 (网) 极限 (范畴论) 极限点 上极限和下极限 极限 (专辑)，徐佳莹的专辑 Limit 界限，末延景子的漫画作品 极限运动。
如果序列通项的极限不为零或无定义，即 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0} ，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。 假设对任何的。
函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 以数列 a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}} 为例，直观上随着n的增大， a n {\displaystyle a_{n}} 越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的"极限"。以下的严格定义来自於柯西：。
数列极限（英语：limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下標越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。 极限的定义 — 取一复数数列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in。
通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 n {\displaystyle n} 越来越大时数列 x n {\displaystyle x_{n}} 跟 a {\displaystyle a} 要多靠近有多靠近的时候，就说 a {\displaystyle a} 是数列 x n {\displaystyle。
间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。 一个复数序列。
数列最重要的性质是收敛，若简单的做非正式的定义，一数列若存在极限，表示此数列收敛。若继续下非正式的定义，一个无穷数列an，若在n非常大时接近一数值x，则称此数列有极限，而其极限为x，因此极限也可以视为是数列趋向的数值。因此针对数列an，当n → ∞时，an和x之间的距离会趋近於0： lim n → ∞ a n = x 。
d(a_{n},a_{m})
) = ∑ C ( x , y ) {\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)} 。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb。
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