摘要：
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称。...
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称。
部指数可以想为生成群，但李代数在严格意义上不构成一个生成集合。 由诺特定理蕴含的连续对称的生成元，是前项的特例。在这种情形，一个生成元有时称为荷或诺特荷，类似于电荷是电磁学U (1)对称群的生成元。这样，例如夸克的色荷是量子色动力学中SU (3) 色对称的生成元。更确切地，“荷”只应用于一个李群的根系。。
bu zhi shu ke yi xiang wei sheng cheng qun ， dan li dai shu zai yan ge yi yi shang bu gou cheng yi ge sheng cheng ji he 。 you nuo te ding li yun han de lian xu dui cheng de sheng cheng yuan ， shi qian xiang de te li 。 zai zhe zhong qing xing ， yi ge sheng cheng yuan you shi cheng wei he huo nuo te he ， lei si yu dian he shi dian ci xue U ( 1 ) dui cheng qun de sheng cheng yuan 。 zhe yang ， li ru kua ke de se he shi liang zi se dong li xue zhong S U ( 3 ) se dui cheng de sheng cheng yuan 。 geng que qie di ， “ he ” zhi ying yong yu yi ge li qun de gen xi 。 。
{\triangle } C)} 以对称差作为加法，交集为乘法，任何集合 X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 构成一个布尔环，并可以诱导一个同构的布尔代数。 综上可得，采用对称差运算，任意集合 X {\displaystyle。
一个物件（如一维、二维或三维中的图像或信号）的对称群是指在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。其为所考虑之空间的等距同构群中的一个子群。 （若没有另外注明，则本文只考虑在欧几里得空间內的对称群，但此一概念亦可以被应用在更广义的用途上，详见下文。） 「物件」可以是几何形状、图像及模式，如壁纸图样（英语：Wallpaper。
孪晶是指：由两个或者两个以上同种晶体构成的﹑非平行的规则连生体。又称双晶。在构成孪晶的两个单晶体间﹐必然会有部分的对应晶面﹑对应晶棱相互平行﹐但不可能全部一一平行﹐然而它们必可通过某一反映﹑旋转180°或者反伸（倒反）的对称操作而达到彼此重合或者完全平行。 孪晶要素是用来表征孪晶中单晶体方位间的对称取向关系的假想几何要素。它包括﹕。
的距离有关，则称此函数具有圆柱对称性（cylindrical symmetry）。以设定的直轴为圆柱轴心，位於同一个圆柱面的点都具有同样的函数值。 例如，一条笔直的无限长电线，其电流所造成的磁场，具有圆柱对称性。离此无限长电线同距离位置的磁场，大小都相同。 旋转不变性 球对称位势 高斯定律 安培定律。
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杨对称化子（英语：Young symmetrizer），是表示论中的一种工具，用於构造对称羣 S n {\displaystyle {S}_{n}} 的不可约表示。 S n {\displaystyle {S}_{n}} 是 n次对称群 C S n {\displaystyle \mathbb {C}。
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对称群可以指： 空间对称群（Symmetry group）：描述欧几里得空间中在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。 对称群 (n次对称群)（Symmetric group）：集合到自身的所有置换（双射）构成的群。。
辐射对称动物（拉丁名：Radiata）是一个已弃用的动物分类单元，包含多类身体呈辐射对称（英语：Symmetry_in_biology#Radial_symmetry）的动物，在旧时的分类体系中与两侧对称动物共同组成了真后生动物。根据当前的系统发育研究，辐射对称动物无法构成。
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各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。 令X = {1,,n}， 称X上的对称群是Sn。 X上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，Sn有n!个元素。对n > 2，Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时，Sn是可解群。对称群的子群称为置换群。 对称群中，两个置换的乘积就是指双射函数的复合，由符号"∘"（U+2218。
对称性。但是规则的反复出现的形象，例如砖墙，花纹地板和晶体点阵具有平移对称性。点阵还能够具有其他对称性，但它们成为点阵必须具备平移对称性。当单元晶胞具有其他对称性时，晶胞在整个点阵中重复，具有放大这些对称性的效果，使这些对称性显示在肉眼可见的晶体上。 转动的或径向的对称是另一种重要的对称。
{\displaystyle \mathbf {S} } 是符号矩阵。 显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。 一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。 任何域上对合矩阵的行列式是±1。
Xn)，就说P是对称多项式。 对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称。
对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。 如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。对角线上的1的个数等于原来的矩阵的 秩。因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。。
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对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：Td（群阶24），截半正四面体的对称群；D3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。 正八面体的对偶多面体是立方体。。
数学上，一个给定集 M {\displaystyle M} 上，所有到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为 M {\displaystyle M} 的对称群，记为 S M {\displaystyle S_{M}} 。 S M {\displaystyle S_{M}} 的任一子群称为。
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半正十六胞体的对偶），正二十四胞体也具有BC4对称性。正二十四胞体和它的对偶正二十四胞体的共48个顶点（的位置向量）构成了F4对称群，它包含了两个D4对称群，大小是后者的√2倍。正二十四胞体的全部对称性构成了外尔群F4，由与F4的根正交的超平面反射构成，它是一个群阶为1152的旋转反射群。正二十四。
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粒子物理学中，基本粒子是组成物质最基本的单位。其内部结构未知，所以也无法确认是否由其它更基本的粒子所组成。随着物理学的不断发展，人类对物质构成的认知逐渐深入，因此基本粒子的定义随时间也有所变化。目前在标准模型理论的架构下，已知的基本粒子可以分为费米子（包含夸克和轻子）以及玻色子（包含规范玻色子和希格。
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对称函数研究以对称多项式为基础。多项式环中，在变量的某有限集中，若变量的顺序不会影响多项式的值，则称多项式是对称的。更形式地说，在n元多项式环上有对称群 S n {\displaystyle S_{n}} 的环同态作用，其中排列对多项式的作用是根据所用的置换，同时将变量替换成另一个。这作用的不变量构成对称多项式子环。若变量是。
中心荷是理论物理学中的一个算符Z，它和其它所有对称算符都对易。中心意指对称群的中心，即能与原来的群中所有其它原素对易的元素构成的子群，它通常嵌入在一个李代数中。在一些情况下，如二维共形场论中，中心荷可能和所有其它算符都对易，包括不是对称性生成元的算符。 更精确地说，中心荷是诺特定理中对应于对称群的中心扩张的中心的荷。 包含超对称。
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