borel可测函数

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解释在经典的实变函数学习中, 严格证明Borel代数和Borel可测函数的势是一个容易被忽略的话题,取而代之的是用一些不太严格的语

对任意Borel可测函数与,记定义1.2 称函数为sigmoidal, 若同时满足下面两个条件:, 且.单调不降的sigmoidal函数叫做squashing

dui ren yi B o r e l ke ce han shu yu , ji ding yi 1 . 2 cheng han shu wei s i g m o i d a l , ruo tong shi man zu xia mian liang ge tiao jian : , qie . dan tiao bu jiang de s i g m o i d a l han shu jiao zuo s q u a s h i n g . . .

是到上可测的函数. 那么实际上,存在一Borel可测函数使得称之为在之下的条件期望,记作,于是 下面的定理和推论保证了存在这样一

≥０≤

中的集合称为中的Borel集; 称为度量可测空间.每一个度量空间都自然而然地产生一个度量可测空间.由于上两个等价的距离产生同样的

一个简单的观察是勒贝格可测集类的势要大于borel集类的势,从直观上来看就是勒贝格可测集要比borel集的更“广”!最后,我们证

╯﹏╰

是可测的.由单调收敛定理,引理3:设, 存在. 则存在的可数Borel子集使得(i);(ii)是单射,且(iii)对每一个 , 存在一个对称自同构使

但是Borel集和Borel可测函数又如何再向上发展出智能,只能漫漫启发了,似乎有一种“大力出奇迹”的思路.

“可测函数的结构” 的第二篇.该系列文章将尝试换种方式来讲述 《最重要的集合系: Borel Sets》 《集合原像与集合运算的关系》

Borel集与Lebesgue可测集 从本节开始, 我们将中所有Lebesgue可测集的集合记作, 则推论1.46就是说我们自然想知道反过来是不

可测,且,得到是零测集,则其可测,可测.Prop 6:是上的代数.Prop 7:(为Borel -代数:中所有开集生成的代数)Lebesgue测度