摘要：从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。 从百位5借1留4，百位所借1减十位下行8得2，与上行3合为5；至此上行筹码为3451，下行为9。 从上行十位的5借1余四，所借1（=10）减去下行9得1，搬往上行得2，至此下行筹码已全部减除，上行得3442即是运算结果。。...从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。 从百位5借1留4，百位所借1减十位下行8得2，与上行3合为5；至此上行筹码为3451，下行为9。 从上行十位的5借1余四，所借1（=10）减去下行9得1，搬往上行得2，至此下行筹码已全部减除，上行得3442即是运算结果。。
{5}}.\end{aligned}}} 而同余关係也可以用计算带余除法中的余数来理解。若正整数 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 在除以 n {\displaystyle n} 后的余数相同， a ≡ b mod m {\displaystyle a\equiv。
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{ 5 } } . \ e n d { a l i g n e d } } } er tong yu guan 係 ye ke yi yong ji suan dai yu chu fa zhong de yu shu lai li jie 。 ruo zheng zheng shu a { \ d i s p l a y s t y l e a } he b { \ d i s p l a y s t y l e b } zai chu yi n { \ d i s p l a y s t y l e n } hou de yu shu xiang tong ， a ≡ b m o d m { \ d i s p l a y s t y l e a \ e q u i v 。
于政。”缪公曰：“善。”因与由余曲席而坐，传器而食，问其地形与其兵势尽察，而后令内史廖以女乐二八遗戎王。戎王受而说之，终年不还。于是秦乃归由余。由余数谏不听，缪公又数使人间要由余，由余遂去降秦。缪公以客礼礼之，问伐戎之形。 《史记·秦本纪》：三十七年，秦用由余谋伐戎王，益国十二，开地千里，遂霸西戎。。
q {\displaystyle q} 被称为商数， r {\displaystyle r} 被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。 13除以10，商为1，余数为3， 13 = 1 ∗ 10 + 3 {\displaystyle 13=1*10+3} 或 13。
余年，当维哥达嘉马（瓦斯科·达·伽马）发现印度新航路以前七十余年。顾何以哥氏、维氏之绩，能使全世界划然开一新纪元；而郑君之烈，随郑君之没以俱逝？我国民虽稍食其赐，亦几希焉。则哥伦布以后，有无量数之哥伦布；维哥达嘉马以后，有无量数。
《明史-列传第二百十五-外国八鞑靼》：二十一年夏，敌复遣天爵求贡。大同巡抚龙大有诱缚之，上之朝，诡言用计擒获。帝悦，擢大有兵部侍郎，边臣升赏者数十人，磔天爵于市。敌怒，入寇，掠朔州，抵广武，由太原南下，沁、汾、襄垣、长子皆被残；复从忻、崞、代而北，屯祁县。参将张世忠力战，敌围之数重。自巳至申，所杀伤相当。已而世忠矢尽见杀，百户。
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再如：西元1861年 1861－3＝1858，1858除以10的余数是8，第8干——辛；1858除以12的余数是10，第10支——酉，故西元1861年为辛酉年。 西元前纪年与干支纪年的换算表： 如：西元前155年 尾数5对应天干的“丙”；155除以12得余数11，对应地支的“戌”。该年为丙戌年。西元前8年则为癸丑年；西元前2年为己未年。。
有穷氏或有穹是夏代的一个东夷部落，其地约在今山东西部，以善射闻名。 夏天子太康昏庸，有穷氏领袖后羿夺其政权，史称“太康失国”。后来后羿取代了夏天子相安，自己做了天子。 不久，有穷氏的宰相寒浞（浞，音zhuó；ㄓㄨㄛˊ ）又谋杀后羿而篡位。 相安儿子少康，在有虞氏、有鬲氏等诸侯的帮助下，灭除了寒浞，恢復了政权，史称“少康中兴”。。
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PRIxMAX "\n", i); return 0; } imaxdiv_t 结构化类型，用于保存函数imaxdiv返回的除商与余数 imaxabs 计算绝对值 imaxdiv 计算商与余数 strtoimax 字符串转换为整数 strtoumax 字符串转换为无符号整数 wstrtoimax 宽字符串转换为整数。
中国剩余定理，又称孙子定理或中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韩信点兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管术」（宋 杨辉）、「秦王暗点兵」、「物不知数」等。 一元线性同余。
300 的减积（如「三一三余一」中，余一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味著用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。 减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含「逢。
《明史》（卷171）：亨败，帝从容谓李贤、王翱曰：「徐有贞何大罪？为石亨辈所陷耳。其释归田里。」成化初，復冠带闲住。有贞既释归，犹冀帝復召，时时仰观天象，谓將星在吴，益自负。常以铁鞭自隨，数起舞。及闻韩雍征两广有功，乃掷鞭太息曰：「孺子亦应天象邪？」遂放浪山水间，十余年乃卒。 （清）张廷玉等，《明史》，中华书局点校本。
{)19}}\\\end{array}}} 因此 950 = 2 x 5² x 19 有时需要的不是所得的商，只需要知道余数，此情形下短除法的变体可以省略其商，只要记录其余数即可。这可以用来进行模除或是判断是否整除。 例如以下是计算16762109除以7的余数的过程： 7 ) 16 2 7 6 6 3 2 4 1 6 0。
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{\displaystyle {\frac {b}{2}}} 之间，这种余数称为“居中余数”。这样的限定都是为了使得满足等式的 q {\displaystyle q} 有且仅有一个。这时候的 q {\displaystyle q} 称为带余除法的商。带余除法一般表示为： a ÷ b = q 。 r {\displaystyle。
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，所以这个最大公约数也是42与105的最大公约数( 42 = 21 × 2 {\displaystyle 42=21\times 2} )。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至余数为零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如。
{\displaystyle n} 互素的数，这些数模 n {\displaystyle n} 的余数所构成的集合，记为 S {\displaystyle {\cal {S}}} ，并将群乘法定义为相乘后模 n {\displaystyle n} 的同余。显然 S {\displaystyle {\cal。
下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为中国余数定理： 今有物，不知其数。三三数之，賸二；五五数之，賸三；七七数之，賸二。问：物几 何？答曰：二十三。 术曰：三三数之，賸二，置一百四十；五五数之，賸三，置六十三；七七数之，賸二。
{\displaystyle q} 和余数 r {\displaystyle r} 均满足以下式子： 然而这样做，当余数非 0 时，余数的符号仍然是有歧义的：余数非 0 时，它的符号有两种选择，一个正、一个负。 通常情况下，在数论中总是使用正余数。但在编程语言中，余数的符号取决于编程语言的类型和被除数。
数的算法： 术曰：三数剩一下七十，五数剩一下二十一，七数剩一下五十。三位并之得二百三十三，满一百五去之，减两个一百五，余二十三为答数 七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本总数几何？答曰：四百九十八 明严恭《通源算法》： 今有散钱不知其数，作七十七穿之，欠五十凑穿，若作七十八穿之，不多不少。问钱数若干？答曰：二千一百六文。
因此，商式是 X 2 − 9 X − 27 {\displaystyle \ X^{2}-9X-27} ，余式是 − 123 {\displaystyle \ -123} 。 通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。 筹算除法 同余 余数 带余除法。
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